लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$A = [\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}]$

चरण 1

अभिलाक्षणिक मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अभिलक्षणिक समीकरण $p (λ)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.

$p (λ) = सारणिक (A - λ I_{2})$

चरण 1.2

सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स $2$ $2 \times 2$ वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

चरण 1.3

ज्ञात मानों को $p (λ) = सारणिक (A - λ I_{2})$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$[\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}]$ को $A$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

चरण 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ को $I_{2}$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- λ$ को गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.2.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.3.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

चरण 1.4.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 0 - λ & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$0$ में से $λ$ घटाएं.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} - λ & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3.2

$7$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3.3

$\frac{1}{7}$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3.4

$0$ में से $λ$ घटाएं.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & - λ \end{array}]$

चरण 1.5

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$p (λ) = - λ (- λ) - \frac{1}{7} \cdot 7$

चरण 1.5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - \frac{1}{7} \cdot 7$

चरण 1.5.2.2

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - \frac{1}{7} \cdot 7$

चरण 1.5.2.2.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

चरण 1.5.2.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

चरण 1.5.2.4

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

चरण 1.5.2.5

$7$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.5.1

$- \frac{1}{7}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$p (λ) = λ^{2} + \frac{- 1}{7} \cdot 7$

चरण 1.5.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$p (λ) = λ^{2} + \frac{- 1}{7} \cdot 7$

चरण 1.5.2.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$p (λ) = λ^{2} - 1$

चरण 1.6

आइगेन मान $λ$ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ^{2} - 1 = 0$

चरण 1.7

$λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$λ^{2} = 1$

चरण 1.7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

चरण 1.7.3

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$λ = \pm 1$

चरण 1.7.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$λ = 1$

चरण 1.7.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$λ = - 1$

चरण 1.7.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$λ = 1, - 1$

चरण 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

चरण 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

संबंधित तत्वों को घटाएं.

$[\begin{array}{c} 0 - 1 & 7 - 0 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

चरण 3.2.2

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$0$ में से $1$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 - 0 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

चरण 3.2.2.2

$7$ में से $0$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

चरण 3.2.2.3

$\frac{1}{7}$ में से $0$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 - 1 \end{array}]$

चरण 3.2.2.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & - 1 \end{array}]$

चरण 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 7 & - 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.1.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{7} \cdot - 7 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.2.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 7 y = 0$

$0 = 0$

चरण 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 y \\ y \end{array}]$

चरण 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}]$

चरण 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

चरण 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}]}$

चरण 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$0$ और $1$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2.2

$7$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2.3

$\frac{1}{7}$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 + 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2.4

$0$ और $1$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 1 \end{array}]$

चरण 4.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & 1 - \frac{1}{7} \cdot 7 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.1.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 7 y = 0$

$0 = 0$

चरण 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 7 y \\ y \end{array}]$

चरण 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]$

चरण 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

चरण 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]}$

चरण 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]}$